Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями в EXCEL

Рассмотрим использование MS EXCEL при проверке статистических гипотез о разнице средних значений 2-х распределений в случае неизвестных дисперсий (дисперсии этих 2-х распределений одинаковы). Вычислим значение тестовой статистики t 0 , рассмотрим соответствующую процедуру «двухвыборочный t -тест», вычислим Р-значение (Р- value ). С помощью надстройки Пакет анализа сделаем «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями».


Имеется две независимых случайных величины. Эти случайные величины имеют распределения с неизвестными средними значениями μ 1 и μ 2 . Дисперсии этих распределений неизвестны, но равны между собой ( дисперсию обозначим σ 2 ). Из этих распределений получены две выборки размером n 1 и n 2 .

Необходимо произвести проверку гипотезы о разнице средних значений этих распределений: μ 1 - μ 2 (англ. Hypothesis tests for a difference in means, populations with unknown but equal variances).

Нулевая гипотеза H 0 звучит так: разница средних значений равна Δ 0 , т.е. Δ 0 = (μ 1 - μ 2 ). Часто предполагается, что Δ 0 =0, следовательно, μ 1 = μ 2 (значение Δ 0 задается исследователем исходя из условий решаемой задачи).

Альтернативная гипотеза H 1 : (μ 1 - μ 2 )<>Δ 0 . Т.е. нам требуется проверить двухстороннюю гипотезу .

Примечание : Про построение соответствующего двухстороннего доверительного интервала можно прочитать в этой статье Доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны, но равны) в MS EXCEL .

СОВЕТ : При первом знакомстве с процедурой двухвыборочного t -теста может быть полезным освежить в памяти процедуру одновыброчного t-теста для среднего при неизвестной дисперсии .

СОВЕТ : Для проверки гипотез нам потребуется знание следующих понятий:

Примечание : Вышеуказанные распределения не обязательно должны быть нормальными . Однако, требуется чтобы выполнялись условия применимости Центральной предельной теоремы . Если размеры выборок меньше 30, то для справедливости сделанных здесь выводов, необходимо, чтобы выборки были сделаны из нормального распределения .

Сначала дадим точечную оценку для Δ 0 .

Точечной оценкой для Δ 0 или для μ 1 - μ 2 является разница между средними значениями, вычисленными на основании выборок из этих (независимых) распределений, т.е. Хср 1 - Хср 2 . Это следует из свойства математического ожидания : Е(Хср 1 - Хср 2 )= Е(Хср 1 )-Е(Хср 2 )= μ 1 - μ 2

Хср 1 - Хср 2 является случайной величиной, и как любая другая случайная величина, она имеет свое распределение вероятности. В данном случае, эта случайная величина распределена по нормальному закону . Это следует из того, что Хср 1 и Хср 2 распределены по нормальному закону (см. статью про ЦПТ ), а их линейная комбинация Хср 1 - Хср 2 также имеет нормальное распределение (см. статью про нормальное распределение ).

Теперь вычислим дисперсию этого распределения. На основании свойств дисперсии имеем, что VAR(Хср 1 - Хср 2 )= VAR(Хср 1 )+ VAR(Хср 2 ) = σ 2 /n 1 + σ 2 /n 2 2 (1/n 1 + 1/n 2 ).

Т.к. дисперсия σ 2 нам неизвестна, то вместо нее используем ее оценку: так называемую объединенную оценку дисперсии s p 2 (pooled estimate of variance).

Воспользуемся результатами статьи про двухвыборочный z-тест .

Из процедуры двухвыборочного z-теста известно, что тестовая статистика Z имеет стандартное нормальное распределение .

где Хср 1 и Хср 2 средние выборок , а n 1 и n 2 – размеры этих выборок .

Заменив, неизвестное значение стандартного отклонения σ на ее оценку s p , получим величину t:

Эта величина является тестовой статистикой ( t -статистикой ) для нашего двухвыборочного t -теста с одинаковыми дисперсиями . Известно, что t -статистика имеет распределение Стьюдента с n 1 +n 2 –2 степенями свободы. Значение, которое приняла t -статистика обозначим t 0 .

Как и для z -теста , проверка двухсторонней гипотезы сводится к сравнению t 0 с квантилями эталонного распределения , в данном случае распределения Стьюдента с n 1 +n 2 –2 степенями свободы. Эта процедура носит название двухвыборочный t -тест в случае одинаковых дисперсий (The two-sample pooled t-Test).

Если вычисленное на основе выборок значение t 0 , в случае двухсторонней гипотезы , не попадет в область значений ограниченной нижним и верхним α /2-квантилями t - распределения с n 1 +n 2 –2 степенями свободы , то у нас будет основание отвергнуть нулевую гипотезу. Это утверждение эквивалентно случаю, когда Хср 1 -Хср 2 окажется вне пределов соответствующего доверительного интервала . В файле примера на листе Сигма неизвестна показана эквивалентность доверительного интервала и соответствующего двухвыборочного t -теста.

Примечание : Про построение соответствующего двухстороннего доверительного интервала можно прочитать в этой статье Доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны, но равны) в MS EXCEL .

Примечание : Верхний α /2-квантиль - это такое значение случайной величины t n1+n2–2 , что P ( t n1+n2–2 >= t α /2, n1+n2–2 )= α /2. Подробнее о квантилях распределений см. статью Квантили распределений MS EXCEL .

В нашем случае, необходимо будет вычислить только верхний α /2-квантиль, т.к. он равен соответствующему нижнему квантилю со знаком минус. Следовательно, условие отклонения нулевой гипотезы можно записать как | t 0 |>t α/2 , n1+n2–2 .

Чтобы в MS EXCEL вычислить значение t α/2 , n1+n2–2 для различных уровней значимости (10%; 5%; 1%) и степеней свобод можно использовать несколько формул: =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х( α ; n 1 +n 2 –2) =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1- α /2; n 1 +n 2 –2) =-СТЬЮДЕНТ.ОБР( α /2; n 1 +n 2 –2) =СТЬЮДРАСПОБР( α ; n 1 +n 2 –2)

Примечание : Подробнее про функции MS EXCEL, связанные с t - распределением см. статью t-распределение .

Итак, если при проверке двухсторонней гипотезы формула =ABS( t 0 ) вернет значение больше, чем результат формулы =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х( α ; n 1 +n 2 –2) , то это означает, что необходимо отвергнуть нулевую гипотезу (вычисления приведены в файле примера на листе Сигма неизвестна ) .

Для односторонней альтернативной гипотезы 1 - μ 2 )>Δ 0 , нулевая гипотеза будет отвергнута в случае t 0 >t α , n1+n2–2 .

Для односторонней альтернативной гипотезы 1 - μ 2 )<Δ 0 , нулевая гипотеза будет отвергнута в случае t 0 <-t α , n1+n2–2 .

СОВЕТ : Перед проверкой гипотез о равенстве средних значений полезно построить двумерную гистограмму , чтобы визуально определить центральную тенденцию и разброс данных в обеих выборок .

Вычисление Р-значения

При проверке гипотез, помимо t -теста, большое распространение получил еще один эквивалентный подход, основанный на вычислении p -значения (p-value).

Если p-значение меньше чем заданный уровень значимости α , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза . И наоборот, если p-значение больше α , то нулевая гипотеза не отвергается.

В случае двусторонней гипотезы p-значение равно суммарной вероятности, что t -статистика примет значение больше | t 0 | и меньше -| t 0 |.

Подробнее про p -значение см., например, статью про двухвыборочный z-тест .

В MS EXCEL p -значение для двухсторонней гипотезы вычисляется по формуле: =2*(1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(ABS( t 0 ); n 1 +n 2 –2;ИСТИНА))

Примечание : Вычисления приведены в файле примера на листе Сигма неизвестна .

Для односторонней гипотезы μ 1 - μ 2 > Δ 0 p -значение вычисляется по формуле: =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП( t 0 ; n 1 +n 2 –2;ИСТИНА) В этом случае p-значение равно вероятности, что t -статистика примет значение больше t 0 .

Для односторонней гипотезы μ 1 - μ 2 < Δ 0 p -значение вычисляется по формуле: =СТЬЮДЕНТ.РАСП( t 0 ; n 1 +n 2 –2;ИСТИНА) В этом случае p-значение равно вероятности, что t -статистика примет значение меньше t 0 .

В файле примера на листе Сигма неизвестна показана эквивалентность проверки гипотезы через доверительный интервал , статистику t 0 ( t -тест) и p -значение .

В MS EXCEL есть функция СТЬЮДЕНТ.TEСT() , которая вычисляет p-значение для 3-х различных двухвыборочных t -тестов (см. следующий раздел статьи) . К сожалению, эта функция может быть использована только для проверки гипотез с Δ 0 =0, то есть для проверки гипотез о равенстве средних μ 1 = μ 2 . Об этом легко догадаться, т.к. среди ее параметров отсутствует параметр Гипотетическая разность средних , т.е. Δ 0 .

Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ()



Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() используется для оценки различия двух выборочных средних . До MS EXCEL 2010 имелась аналогичная функция ТТЕСТ() .

Примечание : В английской версии функция носит название T.TEST() , старая версия - TTEST() .

Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() имеет 4 параметра. Первые два – это ссылки на диапазоны ячеек, содержащие выборки из 2-х сравниваемых распределений.

Третий параметр имеет название «хвосты». Этот параметр задает тип проверяемой гипотезы: односторонняя (=1) или двухсторонняя (=2). Если мы проверяем двухстороннюю гипотезу , то смотрим, не попало ли значение тестовой статистики t 0 в один из 2-х хвостов соответствующего t-распределения . Если мы проверяем одностороннюю гипотезу (имеется ввиду гипотеза μ 1 < μ 2 ), то «хвост» всего один.

Как было сказано выше, эта функция вычисляет p -значение для 3-х различных двухвыборочных t -тестов . За это отвечает четвертый параметр функции, который принимает значения от 1 до 3:

  1. Парный двухвыборочный t-тест для средних ;
  2. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями ;
  3. Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями .

Таким образом, p -значение для двухсторонней гипотезы (равные дисперсии ) вычисляется по формуле (см. файл примера ): =СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ( выборка1 ; выборка2 ; 2; 2) или =2*(1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(ABS( t 0 ); n 1 +n 2 –2;ИСТИНА))

Для односторонней гипотезы μ 1 < μ 2 p -значение вычисляется по формуле: =СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ( выборка1 ; выборка2 ; 1; 2) или =СТЬЮДЕНТ.РАСП( t 0 ; n 1 +n 2 –2;ИСТИНА)

Для односторонней гипотезы μ 1 > μ 2 p -значение вычисляется по формуле: =1-СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ( выборка1 ; выборка2 ; 1; 2) или =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП( t 0 ; n 1 +n 2 –2;ИСТИНА)

Пакет анализа

В надстройке Пакет анализа для проведения двухвыборочного t -теста с одинаковыми дисперсиями имеется специальный инструмент: Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями (t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances).

После выбора инструмента откроется окно, в котором требуется заполнить следующие поля (см. файл примера лист Пакет анализа ):

  • интервал переменной 1 : ссылка на значения первой выборки . Ссылку указывать лучше с заголовком. В этом случае, при выводе результата надстройка выводит заголовки, которые делают результат нагляднее (в окне требуется установить галочку Метки );
  • интервал переменной 2 : ссылка на значения второй выборки ;
  • гипотетическая средняя разность : укажите значение Δ 0 , т.е. μ 1 - μ 2 . В нашем случае, введем 0;
  • Метки: если в полях интервал переменной 1 и интервал переменной 2 указаны ссылки вместе с заголовками столбцов, то эту галочку нужно установить. В противном случае надстройка не позволит провести вычисления и пожалуется, что « входной интервал содержит нечисловые данные »;
  • Альфа: уровень значимости α;
  • Выходной интервал: диапазон ячеек, куда будут помещены результаты вычислений. Достаточно указать левую верхнюю ячейку этого диапазона.

В результате вычислений будет заполнен указанный Выходной интервал.

Тот же результат можно получить с помощью формул (см. файл примера лист Пакет анализа ):

Разберем результаты вычислений, выполненных надстройкой:

  • Среднее : средние значения обеих выборок Хср 1 и Хср 2 . Вычисления можно сделать с помощью функции СРЗНАЧ() ;
  • Дисперсия : дисперсии обеих выборок. Вычисления можно сделать с помощью функции ДИСП.В()
  • Наблюдения : размер выборок. Вычисления можно сделать с помощью функции СЧЁТ() ;
  • Объединенная дисперсия : Объединенная оценка дисперсии, т.е.величина s p 2 ;
  • Df : число степеней свободы, т.е. величина n 1 +n 2 –2;
  • t -статистика : значение тестовой статистики t (в наших обозначениях – это t 0 ). Вычисление t 0 приведено в ячейке Е15 ;
  • P(T<=t) одностороннее : р-значение в случае односторонней альтернативной гипотезы μ 1 - μ 2 0 . Эквивалентная формула =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП( t 0 ; n 1 +n 2 –2;ИСТИНА) ;
  • t критическое одностороннее : Верхний α-квантиль t-распределения . Эквивалентная формула =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1- α; n 1 +n 2 –2) ;
  • P(T<=t) двухстороннее: р-значение в случае двухсторонней альтернативной гипотезы μ 1 - μ 2 <>Δ 0 . Эквивалентная формула =2*(1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(ABS( t 0 ); n 1 +n 2 –2;ИСТИНА)) ;
  • t критическое двухстороннее: Верхний α/2-Квантиль t-распределения . Эквивалентная формула =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1- α/2; n 1 +n 2 –2) .

СОВЕТ : О проверке других видов гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL .

Комментарии
Только для авторизованных пользователей

(только для авторизованных пользователей)

© Copyright 2013 - 2020 Excel2.ru. All Rights Reserved