Проверка статистических гипотез в EXCEL о дисперсии нормального распределения

Рассмотрим использование MS EXCEL при проверке статистических гипотез о дисперсии нормального распределения. Вычислим тестовую статистику χ ² и Р-значение (Р- value ).

Первое знакомство с процедурой проверки гипотез (Hypothesis testing) для дисперсии рекомендуется начать с изучения построения соответствующего доверительного интервала (см. статью Доверительный интервал для оценки дисперсии в MS EXCEL ).

Примечание : Перечень статей о проверке гипотез приведен в статье Проверка статистических гипотез в MS EXCEL .

СОВЕТ : Для проверки гипотез потребуется знание следующих понятий:

• дисперсия и стандартное отклонение ,
• доверительный интервал для оценки среднего ,
• выборочное распределение статистики ,
• уровень доверия/ уровень значимости ,
• нормальное распределение , распределение χ ² и их квантили .

Формулировка задачи. Из генеральной совокупности имеющей нормальное распределение с неизвестным средним значением μ (мю) и неизвестной дисперсией σ ² ( сигма ² ) взята выборка размера n. Необходимо проверить двустороннюю статистическую гипотезу о равенстве неизвестной дисперсии σ ² заданному исследователем значению σ ₀ ² (англ. Inference on the variance of a normal population).

Примечание : Изложенный ниже метод проверки гипотез о дисперсии ,очень чувствителен к выполнению требования о нормальности распределения , из которого берется выборка . Если это требование не выполняется, то этот метод проверки гипотез будет давать неточные значения.

В качестве точечной оценкой дисперсии распределения, из которого взята выборка , используют Дисперсию выборки s ² .

Перед процедурой проверки гипотезы , исследователь устанавливает требуемый уровень значимости – это допустимая для данной задачи ошибка первого рода , т.е. вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда она верна ( уровень значимости обозначают буквой α (альфа) и чаще всего выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01).

Тестовой статистикой для проверки этой гипотезы является величина:

В статье про χ ² -распределение показано , что выборочное распределение этой статистики, имеет χ ² -распределение с n-1 степенью свободы, которое является « эталонным распределением » (англ. Reference distribution) для данного теста о равенстве дисперсии .

Значение, которое приняла χ ² -статистика обозначим χ ₀ ² .

Нулевая гипотеза Н ₀ о равенстве дисперсии значению σ ₀ ² отвергается в том случае, если χ ₀ ² >χ ² _α/2,n-1 или χ ₀ ² <χ ² _1-α/2,n-1

где:

• χ ² _α/2,n-1 – верхний α/2-квантиль распределения χ ² с n -1 степенью свободы (такое значение случайной величины χ ² _n-1 , что P ( χ ² _n-1 >= χ ² _α/2,n-1 )=α/2 ).
• χ ² _1-α/2,n-1 – верхний (1-α/2)-квантиль распределения χ ² с n -1 степенью свободы (такое значение случайной величины χ ² _n-1 , что P ( χ ² _n-1 >= χ ² _1-α/2,n-1 ) =1-α/2 ).

Примечание : Подробнее про квантили распределения можно прочитать в статье Квантили распределений MS EXCEL .

В MS EXCEL верхний α/2-квантиль распределения χ ² вычисляется с помощью формулы =ХИ2.ОБР.ПХ(α/2; n-1)

Верхний (1-α /2)-квантиль вычисляется с помощью аналогичной формулы =ХИ2.ОБР.ПХ(1-α/2; n-1)

или через равный ему нижний квантиль

=ХИ2.ОБР(α/2; n-1)

Вычисления приведены в файле примера .

В случае односторонней гипотезы речь идет об отклонении дисперсии только в одну сторону: либо больше либо меньше σ ₀ ² . Если альтернативная гипотеза звучит как σ ² > σ ₀ ² , то гипотеза Н ₀ отвергается в случае χ ₀ ² > χ ² _{α ,n-1} . Если альтернативная гипотеза звучит как σ ² < σ ₀ ² , то гипотеза Н ₀ отвергается в случае χ ₀ ² < χ ² _{1-α ,n-1} .

СОВЕТ : О проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений ( F-test ) см. статью Двухвыборочный тест для дисперсии: F-тест в MS EXCEL .

Вычисление Р-значения

При проверке гипотез большое распространение также получил еще один эквивалентный подход, основанный на вычислении p -значения (p-value).

СОВЕТ : Подробно про p -значение написано в статье Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна) .

Если p-значение , вычисленное на основании выборки , меньше чем заданный уровень значимости α , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза . И наоборот, если p-значение больше α, то нулевая гипотеза не отвергается.

Формула для вычисления p-значения зависит от формулировки альтернативной гипотезы :

• Для односторонней гипотезы σ ² < σ ₀ ² p-значение вычисляется как =ХИ2.РАСП( χ ₀ ² ; n-1;ИСТИНА)
• Для другой односторонней гипотезы σ ² > σ ₀ ² p-значение вычисляется как =ХИ2.РАСП.ПХ( χ ₀ ² ; n-1)
• Для двусторонней гипотезы p-значение вычисляется как =2*МИН(ХИ2.РАСП( χ ₀ ² ;n-1;ИСТИНА); ХИ2.РАСП.ПХ( χ ₀ ² ;n-1))

Соответственно, χ ₀ ² = (СЧЁТ( выборка )-1)* ДИСП.В( выборка )/ σ ₀ ² , где выборка – ссылка на диапазон, содержащий значения выборки .

СОВЕТ : Подробнее про вышеуказанные функции MS EXCEL см. статью про χ ² -распределение .

В файле примера на листе Дисперсия показано решение задач проверки двусторонней и односторонних гипотез .