МНК: Приближение полиномом в EXCEL

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью полинома (до 6-й степени включительно).

В основной статье про МНК было рассмотрено приближение линейной функцией. В этой статье рассмотрим приближение полиномиальной функцией (с 3-й до 6-й степени) следующего вида: y=b ₀ +b ₁ x+b ₂ x ² +b ₃ x ³ +…+b ₆ x ⁶

Примечание : В инструменте MS EXCEL Линия тренда , который доступен для диаграмм типа Точечная и График , можно построить линию тренда на основе полинома с максимальной степенью 6. В файле примера продемонстрировано полное совпадение линии тренда диаграммы и линии, вычисленной с помощью формул.

Покажем, как вычислить коэффициенты b линии тренда, заданной полиномом.

Как известно, квадратичная зависимость y=b ₀ +b ₁ x+b ₂ x ² , подробно рассмотренная в статье МНК: Квадратичная зависимость в MS EXCEL , является частным случаем полиномиальной y=b ₀ +b ₁ x+b ₂ x ² +b ₃ x ³ +… зависимости (в этом случае степень полинома равна 2). Соответственно, используя тот же подход (приравнивание к 0 частных производных), можно вычислить коэффициенты любого полинома.

Примечание : Существует еще один метод вычисления коэффициентов – замена переменных, который рассмотрен в конце статьи.

Для нахождения m+1 коэффициента полинома m-й степени составим систему из m+1 уравнения и решим ее методом обратной матрицы . Для квадратного уравнения (m=2) нам потребовалось вычислить сумму значений х с 1-й до 4-й степени, а для полинома m-й степени необходимо вычислить значения х с 1-й до 2*m степени.

Примечание : Для удобства суммы степеней значений х можно вычислить в отдельном диапазоне ( файл примера столбцы К:М).

В файле примера создана универсальная форма для вычисления коэффициентов полиномов.

Выбрав с помощью элемента управления Счетчик нужную степень полинома, автоматически получим аппроксимацию наших данных выбранным полиномом (будет построен соответствующий график).

Примечание: При использовании полиномов высокой степени необходимо следить за тем, чтобы количество пар значений (х _i ; y _i ) превышало степень полинома хотя бы на несколько значений (для обеспечения точности аппроксимации). Кроме того, график функции полинома степени m имеет m-1 точку перегиба. Понятно, что точек данных должно быть гораздо больше, чем точек перегиба, чтобы такой изменчивый тренд стал очевидным (если утрировать, то бессмысленно строить по двум точкам параболу, логичнее построить прямую).

Как видно из расчетов, в MS EXCEL этот путь является достаточно трудоемким. Гораздо проще в MS EXCEL реализовать другой подход для вычисления коэффициентов полинома - с помощью замены переменных.

С помощью замены переменных x ⁱ =x _i полиномиальную зависимость y=b ₀ +b ₁ x+b ₂ x ² +b ₃ x ³ +… можно свести к линейной. Теперь переменная y зависит не от одной переменной х в m разных степенях, а от m независимых переменных x _i . Поэтому для нахождения коэффициентов полинома мы можем использовать функцию ЛИНЕЙН() . Этот подход также продемонстрирован в файле примера .