МНК: Квадратичная зависимость в EXCEL

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью квадратичной функции y=ax ² +bx+с .

Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Основная статья про МНК - МНК: Метод Наименьших Квадратов в MS EXCEL .

Для построения графика квадратичной зависимости y=ax ² +bx+с вспомним исходный критерий МНК, который необходимо минимизировать:

Теперь ŷ _i = a*x _i ² +b*x _i +с и мы имеем зависимость от 3-х параметров полинома второй степени: a , b и с .

Вышеуказанное выражение примет минимальное значение при таких параметрах a , b и с , при которых соответствующие частные производные функции F равны нулю, т.е.:

В результате вычислений и преобразований получим систему из 3-х линейных уравнений:

Все выражения со знаком суммирования вычисляются из таблицы с исходными данными (см. файл примера ).

Получившуюся систему линейных уравнений можно решить, например методом обратной матрицы или с помощью функции ЛИНЕЙН() (эти подходы реализованы в файле примера ).

В результате вычислений будут найдены три параметра квадратичного полинома и построена соответствующая парабола.

Примечание : Три параметра можно также найти с помощью замены переменных – это сделано в более общем случае для полинома .