Размещения c повторениями: Комбинаторика в EXCEL

Подсчитаем в MS EXCEL количество Размещений с повторениями из n по k (выборка с возвращением). Также с помощью формул выведем на лист соответствующие варианты Размещений (английский перевод термина: sequence with repetition или permutations with repetition).

Размещение с повторениями (выборка с возвращением) — это Размещение n объектов по k в предположении, что каждый объект может участвовать в размещении несколько раз .

Примечание : О Размещениях без повторений (т.е. без возвращения элементов) можно прочитать в статье Размещения без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, из множества содержащего 3 (n) различных элемента ( a, b, c ) можно сформировать 9 (=3^2) упорядоченных наборов по 2 (k) элемента (т.е. 9 размещений с повторениями из 3 по 2): аа , ab, ac, ba, bb , bc, ca, cb, сс . В отличие от Размещений без повторений наборы аа , bb и сс допустимы. В отличие от Сочетаний наборы ac и ca считаются различными (важен порядок).

В отличие от Размещений без повторений , k может быть меньше или больше n. Например, из множества содержащего 2 (n) различных элемента ( a, b ) можно сформировать 8 (=2^3) упорядоченных наборов по 3 (k) элемента (т.е. 8 размещений с повторениями из 2 по 3): аа a , а ab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb . В отличие от Размещений без повторений наборы аа a , a bb и пр. допустимы. В отличие от Сочетаний наборы abb и bba считаются различными (важен порядок).

В файле примера MS EXCEL приведен подсчет количества Размещений с повторениями и создана универсальная формула для вывода всех размещений для заданных n и k.

Задавая с помощью элемента управления Счетчик количество элементов множества (n) и количество элементов, которое мы из него выбираем (k), с помощью формулы массива можно вывести все размещения с повторениями.

Задача

Богатый автолюбитель решил сделать подарки своим 3 любимым родственницам: жене, маме и сестре. К сожалению, женщины не смогли однозначно определиться с марками машин, но указали 4 марки, которые им всем троим нравятся в одинаковой степени: Volkswagen Polo, Hyundai Solaris, KIA Rio и Renault Duster. Автолюбитель решает довериться случаю и делает 4 записки, с указанием марок машин. Все записки кладет в мешок. После каждого выбора, автолюбитель кладет выбранную записку обратно в мешок. Определить число различных вариантов распределения марок между родственницами.

Нам нужно определить число размещений с повторениями 4-х марок машин 3-м родственницам. Т.е. n=4, а k=3. Оказывается, что таких вариантов =4^3 равно 64.

Воспользуемся файлом примера , чтобы убедиться, что мы решили задачу правильно.

По аналогии с решением задачи в статье Размещений без повторений сопоставим произвольным образом маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: Hyundai Solaris (HS=1), KIA Rio (KR=2), …

Выставив в ячейках В5 и В6 значения 4 и 3 соответственно, определим все варианты размещений.

Примечание : О перестановках можно прочитать в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL , а о сочетаниях в статье Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL . Примечание : В данной статье рассмотрена выборка элементов из одного массива, в котором содержится n элементов. В статье Комбинации элементов из нескольких множеств составлены все возможные комбинации элементов таким образом, чтобы в комбинации присутствовал один и только один элемент из каждого множества. Если все множества идентичны (состоят из одинаковых элементов), то задача сводится к рассмотренному в этой статье Размещению с повторениями.