Размещения без повторений: Комбинаторика в EXCEL

Подсчитаем в MS EXCEL количество Размещений из n по k и с помощью формул выведем на лист соответствующие варианты размещений (английский перевод термина: partial permutation или sequence without repetition).


Размещением (partial permutation) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.

Например, из множества содержащего 3 (n) различных элемента ( a, b, c ) можно сформировать 6 упорядоченных наборов по 2 (k) различных элемента (т.е. 6 размещений из 3 по 2): ab, ac, ba, bc, ca, cb . В отличие от Размещений с повторениями повторы элементов в наборах не допускаются, т.е. наборы аа , bb и сс не допустимы. В отличие от Сочетаний наборы ac и ca считаются различными (важен порядок). Очевидно, что k =< n , т.к. нельзя выбрать из множества элементов n больше элементов, чем в нем содержится (предполагается, что элементы после выбора обратно не возвращаются).

Примечание : О Размещениях с повторениями (с возвращением элементов) можно прочитать в статье Размещения c повторениями: Комбинаторика в MS EXCEL . Для вычисления количества Размещений в MS EXCEL имеется специальная функция ПЕРЕСТ() . Чтобы подсчитать количество Размещений из 3 (n) по 2 (k) нужно записать формулу =ПЕРЕСТ(3;2) Примечание : Название функции ПЕРЕСТ() не соответствует общепринятой терминологии в комбинаторике на русском языке, по сути подсчитывая количество Размещений (хотя, справедливости ради, нужно отметить, что Перестановки она тоже считает при n=k). Причиной расхождения, вероятно, является калька с английского названия функции PERMUT(), т.е. permutation (перестановка). Примечание : Если k=n, то количество Размещений из n по n равно числу Перестановок из n элементов, т.е. n!=ФАКТР(n)=ПЕРЕСТ(n;n).

В файле примера MS EXCEL приведен подсчет количества Размещений с помощью функции =ПЕРЕСТ(n;k) и альтернативной формулы =ФАКТР(n)/ФАКТР(n-k).

Кроме того, в файле примера создана универсальная формула для вывода всех Размещений для заданных n и k. Задавая с помощью элементов управления Счетчик количество элементов множества (n) и количество элементов, которое мы из него выбираем (k), с помощью формулы массива можно вывести все Размещения. Например, для n=3 (соответствующее множество равно {1; 2; 3}) и к=2 можно сформировать 6 пар размещений.

Задача

6 машин разных марок участвуют в гонках на выживание: LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo. Определить число возможных вариантов распределения 3-х призовых мест между участниками.

Нам нужно определить число размещений 6 машин на 3-х призовых местах (понятно, что порядок размещения машин на призовых местах важен). Т.е. n=6, а k=3. Оказывается, что таких вариантов =ПЕРЕСТ(6;3) равно 120. Воспользуемся файлом примера , чтобы наглядно убедиться, что мы решили задачу правильно. Произвольным образом сопоставим маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: LADA Granta (LG=1), Hyundai Solaris (HS=2), …

Выставив в ячейках В5 и В6 значения 6 и 3, определим все варианты размещений машин на призовых местах.

В столбцах Q:T числовым значениям сопоставлены марки машин.

Примечание : О Перестановках можно прочитать в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL , а о Сочетаниях в статье Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL . Примечание : В данной статье рассмотрена выборка элементов из одного массива, в котором содержится n элементов. В статье Комбинации элементов из нескольких множеств составлены все возможные комбинации элементов таким образом, чтобы в комбинации присутствовал один и только один элемент из каждого множества.


Комментарии
Только для авторизованных пользователей

Аноним, 16 января 2017 г.
Спасибо за прекрасную понятную статью, за файл примера, и за то что в файле примера имеется решение более глубокой задачи, нежели задачи, решаемой описанной функцией. Мне были нужны именно варианты перестановки нескольких текстовых аргументов и они нашлись у вас
Михаил, 16 января 2017 г.
Спасибо, стараемся.
Аноним, 25 января 2017 г.
Очень хорошая статья! Михаил, скажите пожалуйста если нужно посчитать например количество вариантов (и вывести эти варианты) из 34 чисел по 4, но чтобы при этом во всех четверках не повторялась ни одна пара чисел. Как это сделать? Заранее благодарю. Для примера: 1234, 1567, 1 8 9 10 и т.д. но например 1259 - уже не подходит, потому что пара 12 уже есть в первой четверке.
Аноним, 31 марта 2020 г.
мне показалось, что вариант (в частности автомобиля) №1 LG не оправдан, так как он всегда выигрывает.
(только для авторизованных пользователей)

© Copyright 2013 - 2020 Excel2.ru. All Rights Reserved