Доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны и не равны) в EXCEL
10 декабря 2016 г.
- Группы статей
- Статистический вывод
Построим доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений в случае неизвестных и неравных дисперсий.
Имеется две независимых случайных величины. Эти случайные величины имеют распределения с неизвестными средними значениями μ 1 и μ 2 . Дисперсии этих распределений неизвестны и не равны между собой (обозначим их σ 1 2 и σ 2 2 ). Из этих распределений получены две выборки размером n 1 и n 2 .
Формулировка задачи. Нас интересует разница средних значений этих распределений: μ 1 - μ 2 . Мы делаем предположение, что эта разница равна Δ 0 , т.е. Δ 0 = μ 1 - μ 2 . От нас требуется дать точечную оценку для Δ 0 и построить для нее двухсторонний доверительный интервал .
СОВЕТ : Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:
- дисперсия и стандартное отклонение ,
- выборочное распределение статистики ,
- уровень доверия/ уровень значимости ,
- нормальное распределение ,
- t-распределение Стьюдента и его квантили .
Примечание : Если заданное значение Δ 0 равно 0, то мы предполагаем, что средние этих распределений совпадают.
Примечание : Процедура построения доверительного интервала более подробно изложена в статье Доверительный интервал для оценки разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии известны) .
Точечной оценкой для μ 1 - μ 2 является разница между средними значениями, вычисленными на основании выборок из этих (независимых) распределений, т.е. Хср 1 - Хср 2 .
На основании свойств дисперсии имеем, что VAR(Хср 1 -Хср 2 )= VAR(Хср 1 )+ VAR(Хср 2 ) = σ 1 2 /n 1 + σ 2 2 /n 2 .
Т.к. дисперсии σ 1 2 и σ 2 2 нам неизвестны, то вместо них используем оценки: s 1 2 и s 2 2 .
В этом случае статистика Хср 1 -Хср 2 имеет приблизительно t-распределение с ν (ню) степенями свободы:
По аналогии с доверительным интервалом для среднего (дисперсия неизвестна) запишем выражение для вычисления двухстороннего доверительного интервала для μ 1 - μ 2 , заменив дисперсии распределения на их оценку - диспресии выборки s 2 :
где t α/2,v – верхний α/2-квантиль t -распределения с v степенями свободы .
Примечание : Верхний α/2 -квантиль - это такое значение случайной величины t v , что P ( t v >= t α /2, v )= α /2. Подробнее о квантилях распределений см. статью Квантили распределений MS EXCEL .
Чтобы в MS EXCEL вычислить значение t α /2, v для различных уровней значимости (10%; 5%; 1%) и степеней свободы можно использовать несколько формул: =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(α; v) =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1- α /2; v) =-СТЬЮДЕНТ.ОБР( α /2; v) =СТЬЮДРАСПОБР( α ; v)
Примечание : Подробнее про функции MS EXCEL, связанные с t - распределением см. статью t-распределение .
В файле примера на листе Двухсторонний приведен пример построения двухстороннего доверительного интервала .
Доверительный интервал построен относительно Хср 1 - Хср 2 . Если гипотетическое значение разности μ 1 - μ 2 не попадает в интервал, то это является основанием для отклонения соответствующей нулевой гипотезы . Подробнее о проверке гипотез о разнице средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны и не равны) см. статью Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями в MS EXCEL .
В файле примера на листе Односторонний также приведены расчеты границ односторонних доверительных интервалов .
Примечание : Распределения, из которых берутся выборки , не обязательно являются нормальными . Однако, требуется чтобы выполнялись условия применимости Центральной предельной теоремы . Если размеры выборок меньше 30, то для справедливости сделанных здесь выводов, необходимо, чтобы выборки были сделаны из нормального распределения .
СОВЕТ : О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .
Комментарии