МНК: Приближение тригонометрическим полиномом в EXCEL

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью тригонометрического полинома.

В основной статье про МНК было рассмотрено приближение линейной функцией. В этой статье рассмотрим аппроксимацию методом наименьших квадратов с помощью тригонометрических многочленов (англ. Discrete Least Squares Approximation by Trigonometric Polynomials).

Под тригонометрическим многочленом будем понимать многочлен вида:

Максимальный порядок этого полинома k ограничен значением n/2, где n – это количество имеющихся пар значений (х _i ; y _i ), т.е. k<n/2.

Чтобы вычислить значение вышеуказанного полинома k-го порядка, для каждого заданного xi необходимо найти его коэффициенты a _j и b _j , включая a ₀ и a _k .

Напомним, что метод наименьших квадратов заключается в подборе таких коэффициентов полинома, при которых выражение

принимает минимальное значение.

Вышеуказанное выражение примет минимальное значение при таких коэффициентах, при которых соответствующие частные производные функции F равны нулю (аналогично тому, как мы делали для случая квадратичной зависимости ).

Сначала будем предполагать, что значения х _i равномерно распределены на интервале [-π; п) или [0; 2п). А в конце статьи покажем, как избавиться от этого ограничения.

Сложный вывод коэффициентов приводить не будем, а запишем сразу конечный результат.

В файле примера на листе Триногом приведен расчет коэффициентов тригонометрического полинома T _k (х), а затем и значения этого полинома для всех x _i .

В качестве примера возьмем функцию y=x ² *sin(x) на интервале [-п; п) и построим для нее аппроксимирующий тригонометрический полином третьего порядка T ₃ (х).

Покажем, что при увеличении порядка полинома k, точность аппроксимации увеличивается. Для этого построим T ₄ (х) и T ₅ (х).

Примечание : Т.к. период функции T _k (х) равен 2п, то при аппроксимации функции f(x) (соответствующих значений этой функции), для которой f(-п)≠f(п), у нас могут быть проблемы с приближением. Например, сравните результаты приближения функции f(х)=x ² , для которой f(-п) = f(п) и функции f(х)=x ³ , для которой f(-п)≠f(п). Оба приближения сделаны полиномом 4-го порядка T ₄ (х).

Выходом из этой ситуации может стать выбор такого диапазона изменения х , для которого f(x ₁ ) ≈ f(x _n ). Но, часто это означает, что нам необходимо использовать интервал, отличный от [-п; п) или [0; 2п). Ниже покажем, как аппроксимировать функцию тригонометрическим полиномом на произвольном интервале.

Возьмем ту же функцию y=x ² *sin(x) на интервале (-20; 20). Предположим, что интервал аппроксимации равен (-15,8; 5,0) и выделим его цветом.

Границы интервала подобраны так, чтобы значения функции были примерно одинаковы в этих крайних точках.

Сначала вычислим значения аппроксимируемой функции y(x _j ).

Напомним, что ранее для вычисления значений коэффициентов a _j и b _j мы использовали значения y(x _j ) и значения x _j из интервала [-п; п). Вроде бы, по аналогии, для мы должны поступить также: использовать y(x _j ) и значения x _j из интервала (-15,8; 5,0). Но, в этом случае мы не получим приемлемой точности аппроксимации.

Трюк заключается в следующем: для вычисления значений коэффициентов a _j и b _j мы будем по прежнему использовать значения y(x _j ), а вместо значений x _j из интервала (-15,8; 5,0) продолжим использовать x _j из интервала [-п; п), но обозначим их как z _j . Для расчета полинома T _k также будем использовать значения z _j .

В файле примера на листе Триногом2 приведен расчет значений тригонометрического полинома T _k (z). Там же построен график для визуального сравнения значений исходной функции y=x ² *sin(x) и приближающего полинома.