Распределение Фишера (F-распределение). Распределения математической статистики в MS EXCEL

Рассмотрим распределение Фишера (F-распределение). С помощью функции MS EXCEL F.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

F-распределение (англ. F-distribution) применяется для целей дисперсионного анализа (ANOVA), при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (F-тест) и др.

Определение: Если U1 и U2 независимые случайные величины, имеющие ХИ2-распределение с k1 и k2  степенями свободы соответственно, то распределение случайной величины:

носит название F-распределения с параметрами k1 и k2.

Плотность F-распределения выражается формулой:

где Г(…) – гамма-функция:

если альфа – положительное целое, то Г(альфа)=(альфа-1)!

СОВЕТ: Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL.

Приведем пример случайной величины, имеющей F-распределение.

Пусть имеется 2 нормальных распределения N(μ11) и N(μ2; σ2), из которых сделаны выборки размером n1 и n2. Если s1и s2 – дисперсии этих выборок, то отношение

имеет F-распределение. Это соотношение нам потребуется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (F-тест).

Графики функций

F-распределение при небольших параметрах (<50) имеет несимметричную форму, скошенную вправо (длинный правый хвост).

Среднее значение равно k2/(k2-2) при k2>2, дисперсия равна 2*k22*(k1+k2-2)/(k1*(k2-4)*(k2-2)2) при k2>4.

В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения.

Примечание: Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

F-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для F-распределения имеется специальная функция F.РАСП(), английское название – F.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая F-распределение, примет значение меньше или равное х, P(X <= x)).

Примечание: Плотность вероятности можно также вычислить впрямую, с помощью формул (см. файл примера).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция FРАСП(), которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее - правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)). Функция FРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости. Аналогом FРАСП() является функция F.РАСП.ПХ(), появившаяся в MS EXCEL 2010.

Примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции.

В MS EXCEL имеется еще одна функция, использующая для расчетов F-распределение – это F.ТЕСТ(массив1;массив2). Эта функция возвращает результат F-теста: двухстороннюю вероятность того, что разница между дисперсиями выборок "массив1" и "массив2" несущественна. Предполагается, что выборки делаются из нормального распределения.

Подробнее об использовании этой функции см. статью про проверку гипотез о равенстве двух дисперсий.

Обратная функция F-распределения

Обратная функция используется для вычисления альфа-квантилей, т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа, причем х должен удовлетворять выражению P{X<=x}=альфа.

В MS EXCEL обратная функция реализована с помощью функции F.ОБР().

Функция F.ОБР.ПХ() используется для вычисления верхнего квантиля. Т.е. если в качестве аргумента функции указан уровень значимости, например 0,05, то функция вернет такое значение случайной величины х, для которого P(X>x)=0,05. В качестве сравнения: функция F.ОБР() вернет такое значение случайной величины х, для которого P(X<=x)=0,05.

В MS EXCEL 2007 и ранее вместо F.ОБР.ПХ() использовалась функция FРАСПОБР().

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. следующие формулы возвращают одинаковый результат:
=F.ОБР(0,05;k1;k2)
=F.ОБР.ПХ(1-0,05;k1;k2)
= FРАСПОБР (1-0,05;k1;k2)

СОВЕТ: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Связанные статьи

Похожие задачи
Прочитайте другие статьи, решающие похожие задачи в MS Excel. Это позволит Вам решать широкий класс подобных задач.
Средняя: 5 (1 оценка)