Непрерывное начисление процентов в EXCEL

Рассмотрим непрерывное начисление сложных процентов в MS EXCEL при постоянной номинальной ставке.

Термин постоянные начисления означает, что проценты начисляются и добавляются к сумме вклада непрерывно. Иными словами, число периодов выплат по инвестиции за год — бесконечно.

Рассчет суммы наращения

Рассчитаем сумму наращения при постоянных начислениях. Для этого выведем соответствующую формулу. В статье Сложные проценты в MS EXCEL. Постоянная ставка приведена формула наращения для сложных процентов при капитализации m раз в год в течение n лет. S = Р*(1+i/m)^(n*m) i/m – это ставка за период.

Увеличение частоты начисления процентов приводит к росту годового множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m→∞) достигает своего предельного значения:

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом в отличие от ставки дискретных процентов i. Поэтому формулу наращенной суммы при непрерывном начислении процентов записывают в виде:

Примечание : эффективная годовая процентная ставка при непрерывном начислении = . Следовательно, номинальная ставка (сила роста)

Пример . Определим будущую стоимость инвестиции объемом 150 000 руб., вложенную под 10% годовых, проценты начисляются непрерывно на протяжении 5 лет. Решение: =150000*EXP(0,1*5) Эта формула вернет значение 247308,19 руб., что всего на 0,007% больше по сравнению с аналогичной инвестицией, но с ежедневным начислением (см. файл примера ) по формуле =150000*(1+0,1/365)^(365*5) .

Сравнение графиков наращения при дискретном и непрерывном наращении

Непрерывное начисление сложных процентов позволяет получить максимально возможную будущую стоимость по истечении срока инвестирования при заданной номинальной процентной ставке. Это видно из графика ниже.

Примечание . График создан на основе идей из статьи Ступенчатый график .

Наращенная сумма за 10 лет по ставке 10% от начальной суммы 100 000р.: - при непрерывном наращении - 738 905,61р. - при ежедневном наращении - 738 500,99р. - при ежемесячном наращении - 726 825,50р. - при ежеквартальном наращении - 703 998,87р. - при ежеквартальном наращении - 619 173,64р.

Применение непрерывного начисления

Модель с непрерывным начислением процентов получила широкое распространение в количественном финансово-экономическом анализе благодаря своей простоте и универсальности. Действительно, единственным параметром в этой модели является годовая норма доходности, при этом отсутствует зависимость от срока инвестирования средств и способа начисления процентов. Хотя в практических финансово-кредитных операциях, как правило, применяется инвестирование средств на конечные отрезки времени, но если оно происходит достаточно часто, то его описание с помощью модели с непрерывным наращением процентов дает достаточно высокую точность.