Гамма распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL

Рассмотрим Гамма распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГАММА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.

Гамма распределение (англ. Gamma distribution) зависит от 2-х параметров: r (определяет форму распределения) и λ (определяет масштаб). Плотность вероятности этого распределения задается следующей формулой:

где Г(r) – гамма-функция:

если r – положительное целое, то Г(r)=(r-1)!

СОВЕТ: Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL.

Вышеуказанная форма записи плотности распределения наглядно показывает его связь с Экспоненциальным распределением. При r=1 Гамма распределение сводится к Экспоненциальному распределению с параметром λ.

Если параметр λ – целое число, то Гамма распределение является суммой r независимых и одинаково распределенных по экспоненциальному закону с параметром λ случайных величин x. Таким образом, случайная величина y=x1+x2+…xr имеет гамма распределение с параметрами r и λ.

Экспоненциальное распределение, в свою очередь, тесно связано с дискретным распределением Пуассона. Если Распределение Пуассона описывает число случайных событий, произошедших за определенный интервал времени, то Экспоненциальное распределение, в этом случае,описывает длину временного интервала между двумя последовательными событиями.

Из этого следует, что, например, если время до наступления первого события описывается экспоненциальным распределением с параметром λ, то время до наступления второго события описывается гамма распределением с r = 2 и тем же параметром λ.

Гамма распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL принята эквивалентная, но отличающаяся параметрами форма записи плотности гамма распределения.

Параметр α (альфа) эквивалентен параметру r, а параметр b (бета) – параметру 1/λ. Ниже будем придерживаться именно такой записи, т.к. это облегчит написание формул.

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Гамма распределения имеется функция ГАММА.РАСП(), английское название - GAMMA.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, имеющая гамма распределение, примет значение меньше или равное x).

Примечание: До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ГАММАРАСП(), которая позволяет вычислить интегральную функцию распределения и плотность вероятности. ГАММАРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения.

Гамма распределение имеет обозначение Gamma(альфа; бета).

Примечание: Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

Примечание: Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие Имена.

Примечание: Зависимость от 2-х параметров позволяет построить распределения разнообразных форм, что расширяет применение этого распределения. Гамма распределение, как и Экспоненциальное распределение часто используется для расчета времени ожидания между случайными событиями. Кроме того, возможно использование применение этого распределения для моделирования уровня осадков и при проектировании дорог.

Как было показано выше, если параметр альфа = 1, то функция ГАММА.РАСП() возвращает экспоненциальное распределение с параметром 1/бета. Если параметр бета = 1, функция ГАММА.РАСП() возвращает стандартное гамма распределение.

Примечание: Т.к. ХИ2-распределение является частным случаем гамма распределения, то формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА) для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА) или =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n). А формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ) возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ), т.е. плотность вероятности ХИ2-распределения.

В файле примера на листе Графики приведен расчет Среднего значения (математического ожидания) гамма распределения равного альфа*бета и дисперсии (квадрата стандартного отклонения) равного альфа*бета2. Там же построены графики функции распределения и плотности вероятности с отмеченными значениями среднего, медианы и моды.


Генерация случайных чисел и оценка параметров

Для генерирования массива чисел, имеющих гамма распределение, можно использовать формулу

=ГАММА.ОБР(СЛЧИС(); альфа; бета)

Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация).

Если случайные числа содержатся в диапазоне B15:B214, то оценку параметра альфа можно сделать с использованием формулы
=СРЗНАЧ(B15:B214)^2/ДИСП.В(B15:B214)

Для оценки параметра бета используйте формулу
=ДИСП.В(B15:B214)/СРЗНАЧ(B15:B214)

СОВЕТ: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Связанные статьи

Похожие задачи
Прочитайте другие статьи, решающие похожие задачи в MS Excel. Это позволит Вам решать широкий класс подобных задач.
Средняя: 5 (1 оценка)
Яндекс.Метрика