Доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны и не равны) в MS EXCEL

Построим доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений в случае неизвестных и неравных дисперсий.

Имеется две независимых случайных величины. Эти случайные величины имеют распределения с неизвестными средними значениями μи μ2. Дисперсии этих распределений неизвестны и не равны между собой (обозначим их σ1и σ22). Из этих распределений получены две выборки размером n1 и n2.

Формулировка задачи. Нас интересует разница средних значений этих распределений: μ- μ2. Мы делаем предположение, что эта разница равна Δ0, т.е. Δ0= μ- μ2. От нас требуется дать точечную оценку для Δи построить для нее двухсторонний доверительный интервал.

СОВЕТ: Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:

Примечание: Если заданное значение Δравно 0, то мы предполагаем, что средние этих распределений совпадают.

Примечание: Процедура построения доверительного интервала более подробно изложена в статье Доверительный интервал для оценки разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии известны).

Точечной оценкой для μ- μ2 является разница между средними значениями, вычисленными на основании выборок из этих (независимых) распределений, т.е. Хср1- Хср2.

На основании свойств дисперсии имеем, что VAR(Хср1-Хср2)= VAR(Хср1)+ VAR(Хср2) = σ12/n1+ σ22/n2.

Т.к. дисперсии σ1и σ22 нам неизвестны, то вместо них используем оценки: s1и s22.

В этом случае статистика Хср1-Хср2 имеет приблизительно t-распределение с ν (ню) степенями свободы:

По аналогии с доверительным интервалом для среднего (дисперсия неизвестна) запишем выражение для вычисления двухстороннего доверительного интервала для μ- μ2, заменив дисперсии распределения  на их оценку - диспресии выборки s2:

где  tα/2,vверхний α/2-квантиль t-распределения с v степенями свободы.

Примечание: Верхний α/2-квантиль - это такое значение случайной величины tv, что P(tv>=tα/2, v)=α/2. Подробнее о квантилях распределений см. статью Квантили распределений MS EXCEL.

Чтобы в MS EXCEL вычислить значение tα/2,v  для различных уровней значимости (10%; 5%; 1%) и степеней свободы можно использовать несколько формул:
=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(α; v)
=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-α/2; v)
=-СТЬЮДЕНТ.ОБР(α/2; v)
=СТЬЮДРАСПОБР(α; v)

Примечание: Подробнее про функции MS EXCEL, связанные с t-распределением см. статью t-распределение.

В файле примера на листе Двухсторонний приведен пример построения двухстороннего доверительного интервала.

Доверительный интервал построен относительно Хср1- Хср2. Если гипотетическое значение разности μ- μ2 не попадает в интервал, то это является основанием для отклонения соответствующей нулевой гипотезы. Подробнее о проверке гипотез о разнице средних значений 2-х распределений (дисперсии неизвестны и не равны) см. статью Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями в MS EXCEL.

В файле примера на листе Односторонний также приведены расчеты границ односторонних доверительных интервалов.

Примечание: Распределения, из которых берутся выборки, не обязательно являются нормальными. Однако, требуется чтобы выполнялись условия применимости Центральной предельной теоремы. Если размеры выборок меньше 30, то для справедливости сделанных здесь выводов, необходимо, чтобы выборки были сделаны из нормального распределения.

СОВЕТ: О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL.

Связанные статьи

Похожие задачи
Прочитайте другие статьи, решающие похожие задачи в MS Excel. Это позволит Вам решать широкий класс подобных задач.
Средняя: 5 (1 оценка)