Доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений (дисперсии известны) в MS EXCEL

Построим доверительный интервал для разницы средних значений 2-х распределений в случае известных дисперсий.

Имеется две независимых случайных величины. Эти случайные величины имеют распределения с неизвестными средними значениями μи μ2. Дисперсии этих распределений известны и равны σ12 и σ22 соответственно (в общем случае дисперсии могут быть не равны). Из этих распределений получены две выборки размером n1 и n2 (в общем случае размеры выборок также могут быть не равны между собой).

Формулировка задачи. Нас интересует разница средних значений этих распределений: μ- μ2. Мы делаем предположение, что эта разница равна Δ0, т.е. Δ0= μ- μ2. От нас требуется дать точечную оценку для Δи построить для нее двухсторонний доверительный интервал.

СОВЕТ: Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:

Примечание: Если заданное значение Δравно 0, то мы предполагаем, что средние этих распределений совпадают.

Примечание: Рассматриваемая здесь задача имеет много общего с задачей о построении доверительного интервала для оценки среднего (случай, когда имеется только одно распределение). Подробнее о построении такого доверительного интервала см. в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL.

Примечание: Вышеуказанные распределения не обязательно являются нормальными. Однако, требуется чтобы выполнялись условия применимости Центральной предельной теоремы.

Примечание: Случай, когда дисперсии распределений известны, кажется несколько натянутым, т.к. обычно на практике дисперсии неизвестны, а если и известны, то, скорее всего, известно и среднее, которое определить часто гораздо легче, чем дисперсию. Поэтому, данная задача имеет скорее академический интерес, чем практический. Вычисление доверительного интервала в случае неизвестных дисперсий приведено в этой статье.

Точечной оценкой для μ- μ2 является разница между средними значениями, вычисленными на основании выборок из этих (независимых) распределений, т.е. Хср1- Хср2. Это следует из свойства математического ожидания:
Е(Хср1- Хср2)= Е(Хср1)-Е(Хср2)= μ- μ2

Если разница Хср1 - Хср2 не попадает в границы доверительного интервала, то у нас будет основание считать, что разница между средними значениями этих распределений не равна Δ0. А если Хср1 - Хср2 попадает в границы доверительного интервала, то с определенной долей вероятности можно утверждать, что μ- μ20.

На основании свойств дисперсии имеем, что VAR(Хср1- Хср2)= VAR(Хср1)+ VAR(Хср2) = σ12/n1+ σ22/n2

По аналогии с доверительным интервалом для среднего сразу запишем выражение для вычисления двухстороннего доверительного интервала для μ- μ2:

где Zα/2 – верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения (такое значение случайной величины z, что P(z>=Zα/2)=α/2). α уровень значимости.

Чтобы вычислить Zα/2 для различных уровней значимости (10%; 5%; 1%) используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2).

Задача

В файле примера решена задача для построения двустороннего доверительного интервала для разницы двух средних значений нормальных распределений.

Для наглядности доверительный интервал построен относительно μ- μ2.

Значения выборки генерируются с помощью формулы =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();B$7;B$8), поэтому при перерасчете листа значения выборки обновляются.

СОВЕТ: О проверке гипотез о разнице средних значений 2-х распределений см. статью Двухвыборочный z-тест для средних в MS EXCEL. О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL.

Связанные статьи

Похожие задачи
Прочитайте другие статьи, решающие похожие задачи в MS Excel. Это позволит Вам решать широкий класс подобных задач.
Средняя: 5 (1 оценка)