Доверительный интервал для оценки дисперсии в MS EXCEL

Построим доверительный интервал для оценки дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону, в MS EXCEL.

Построение доверительного интервала для оценки среднего приведено в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL. Процедура построения доверительного интервала для оценки дисперсии имеет много общего с процедурой для оценки среднего, поэтому в этой статье она изложена менее подробно, чем в указанной статье.

Формулировка задачи. Предположим, что из генеральной совокупности имеющей нормальное распределение с неизвестным средним значением μ и неизвестной дисперсией σвзята выборка размера n. Необходимо на основании этой выборки оценить дисперсию распределения и построить доверительный интервал.

Примечание: Построение доверительного интервала для оценки среднего относительно нечувствительно к отклонению генеральной совокупности от нормального закона. А вот при построении доверительного интервала для оценки дисперсии требование нормальности является строгим.

СОВЕТ: Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:

В качестве точечной оценкой дисперсии распределения, из которого взята выборка, используют Дисперсию выборки s2.

Также, перед процедурой проверки гипотезы, исследователь устанавливает требуемый уровень значимости – это допустимая для данной задачи ошибка первого рода, т.е. вероятность отклонить нулевую гипотезу, когда она верна (уровень значимости обозначают буквой α (альфа) и чаще всего выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01)

В статье про ХИ2-распределение показано, что выборочное распределение статистики y=(n-1)s22, имеет ХИ2-распределение с n-1 степенью свободы.

Воспользуемся этим свойством и построим двухсторонний доверительный интервал для оценки дисперсии:


где χ2α/2,n-1 – верхний α/2-квантиль распределения ХИ-квадрат с n-1 степенью свободы (такое значение случайной величины χ2n-1, что P(χ2n-1>=χ2α/2,n-1)=α/2). Чтобы найти этот квантиль в MS EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(α; n-1). χ21-α/2,n-1 – верхний 1-α/2-квантиль, который равен нижнему α/2-квантилю. Чтобы найти этот квантиль в MS EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР(α; n-1).

Примечание: В файле примера на листе Квантили показан расчет квантилей для распределения ХИ2. На рисунке выделена область соответствующая уровню доверия 95%, которая ограничена верхним и нижним квантилем. Обратите внимание, что в отличие от нормального и t-распределения распределение ХИ2 несимметрично, поэтому для двустороннего доверительного интервала потребуется вычислить два квантиля, значения которых будут отличаться.

Примечание: Доверительный интервал для стандартного отклонения может быть получен путем извлечения квадратного корня из вышеуказанного выражения.

В файле примера на листе 2х сторонний создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала.

Для построения односторонних доверительных интервалов используйте нижеследующие выражения:

Задача

В следующей задаче найдем верхний односторонний доверительный интервал для дисперсии.

Автоматический аппарат заполняет емкости с растворителем. Предполагается, что объемы налитой жидкости в емкостях распределены по нормальному закону. Если разброс значений объемов будет слишком велик, то значительная часть емкостей будет существенно переполнена или не заполнена. Для оценки дисперсии в качестве выборки взято 20 наполненных жидкостью емкостей. На основе выборки была вычислена дисперсия выборки s2, которая составила 0,0153 (литров2). Принято решение оценить верхний уровень дисперсии с уровнем доверия 95%.

Для решения задачи воспользуемся выражением

Сначала найдем верхний (1-α)-квантиль (или равный ему нижний α-квантиль) ХИ2-распределения с n-1 степенью свободы при уровне значимости α равном 1-0,95=0,05. Это можно сделать в MS EXCEL по формулам:
=ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05; 20-1) или
=ХИ2.ОБР(0,05; 20-1)

В результате получим верхний доверительный интервал для дисперсии: σ2<=0,0287

Или тоже, но словами и для стандартного отклонения:
«Значения выборки показывают, что с вероятностью 95%, стандартное отклонение процесса наполнения емкости растворителем меньше или равно 0,17 литров».

Ход решения приведен в файле примера на листе 1 сторонний.

СОВЕТ: О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL.

Связанные статьи

Похожие задачи
Прочитайте другие статьи, решающие похожие задачи в MS Excel. Это позволит Вам решать широкий класс подобных задач.
Средняя: 5 (1 оценка)